La unión de las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD proporciona una nueva relación que contiene tanto a los empleados de administración como los empleados de producción; se indicaría así: EMPLEADOS_ADM  EMPLEADOS_PROD.

Sólo tiene sentido aplicar la unión a relaciones que tengan tuplas similares.

Por ejemplo, se puede hacer la unión de las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD porque sus tuplas se parecen. En cambio, no se podrá hacer la unión de las relaciones EMPLEADOS_ADM y DESPACHOS porque, como habéis podido observar en las tablas, las tuplas respectivas son de tipo diferente.

Más concretamente, para poder aplicar la unión a dos relaciones, es preciso que las dos relaciones sean compatibles. Decimos que dos relaciones T y S son relaciones compatibles si:

•Tienen el mismo grado.

•Se puede establecer una biyección entre los atributos de T y los atributos de S que hace corresponder a cada atributo Ai  de T un atributo Aj  de S, de modo que se cumple que dominio(Ai) = dominio(Aj).

Ejemplo de relaciones compatibles

Las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD tienen grado 5. Podemos establecer la siguiente biyección entre sus atributos:

•   A DNI de EMPLEADOS_ADM le corresponde DNIemp de EMPLEADOS_PROD.

•   A nombre de EMPLEADOS_ADM le corresponde nombreemp de EMPLEADOS_PROD.

•   A apellido de EMPLEADOS_ADM le corresponde apellidoemp de EMPLEADOS_PROD.

•   A edificiodesp de EMPLEADOS_ADM le corresponde edificiodesp de EMPLEADOS_PROD.

•   A númerodesp de EMPLEADOS_ADM le corresponde edificiodesp de EMPLEADOS_PROD. Además, supondremos que los dominios de sus atributos se han declarado de forma que se cumple que el dominio de cada atributo de EMPLEADOS_ADM sea el mismo que el dominio de su atributo correspondiente enEMPLEADOS_PROD.

Por  todos  estos  factores,  podemos  llegar  a  la  conclusión  de  que  EMPLEADOS_ADM  y EMPLEADOS_PROD son relaciones compatibles.

A continuación, pasaremos a definir los atributos y la extensión de la relación resultante de una unión.

 

                                      

No-repetición de tuplas
Notad que en caso de que  una misma tupla esté en las  dos relaciones que se unen,  el resultado de la unión no la  tendrá repetida. El resultado  de la unión es una nueva rela- ción por lo que no puede tener repeticiones de tuplas.

Ejemplo de unión

Si queremos obtener una relación R que tenga a todos los empleados de la empresa del ejemplo anterior, llevaremos a cabo la unión de las relacionesEMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD de la forma siguiente:

R := EMPLEADOS_ADMEMPLEADOS_PROD.

Entonces la relación R resultante será la reflejada en la tabla siguiente:

El hecho de que los atributos de la relación resultante coincidan con los atributos de la relación que figura en primer lugar en la unión es una convención; teóricamente, también habría sido posible convenir que coincidiesen con los de la relación que figura en segundo lugar.

 

  

La intersección de las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD obtiene una nueva relación que incluye a los empleados que son al mismo tiempo de administración y de producción: se indicaría como EMPLEADOS_ADM EMPLEADOS_PROD.

La intersección, como la unión, sólo se puede aplicar a relaciones que tengan tuplas similares. Para poder hacer la intersección de dos relaciones, es preciso, pues, que las relaciones sean compatibles.

A continuación definiremos los atributos y la extensión de la relación resultante de una intersección.

  

Ejemplo de intersección

Si queremos obtener una relación R que incluya a todos los empleados de la empresa del ejemplo que trabajan tanto en administración como en producción, realizaremos la intersección de las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD de la forma siguiente:

R : = EMPLEADOS_ADM EMPLEADOS_PROD.

Entonces, la relación R resultante será:

Observad que se ha tomado la convención de que los atributos de la relación que resulta coincidan con los atributos de la relación que figura en primer lugar.

 

    

La diferencia EMPLEADOS_ADM menos EMPLEADOS_PROD da como resultado una nueva relación que contiene a los empleados de administración que no son empleados de producción, y se indicaría de este modo: EMPLEADOS_ADM – EMPLEADOS_PROD.

La diferencia, como ocurría en la unión y la intersección, sólo tiene sentido si

se aplica a relaciones que tengan tuplas similares. Para poder realizar la diferencia de dos relaciones es necesario que las relaciones sean compatibles.

A continuación definimos los atributos y la extensión de la relación resultante de una diferencia.

Ejemplo de diferencia

Si queremos obtener una relación R con todos los empleados de la empresa del ejemplo que trabajan en administración, pero no en producción, haremos la diferencia de las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD de la forma siguiente:

R := EMPLEADOS_ADM – EMPLEADOS_PROD

Entonces la relación R resultante será:

 

 

 

 

        

Si calculamos el producto cartesiano de EDIFICIOS_EMP y DESPACHOS, obtendremos una nueva relación que contiene todas las concatenaciones posibles de tuplas de EDIFICIOS_EMP con tuplas de DESPACHOS.

Si se quiere calcular el producto cartesiano de dos relaciones que tienen algún nombre de atributo común, sólo hace falta redenominar previamente los atributos adecuados de una de las dos relaciones. 

A continuación definimos los atributos y la extensión de la relación resultante de un producto cartesiano.

                                                   

* Recordad que T y S no tienen ningún nombre de atributo común.

Ejemplo de producto cartesiano

El producto cartesiano de las relaciones DESPACHOS y EDIFICIOS_EMP del ejemplo se puede hacer como se indica (es necesario redenominar atributos previamente):

EDIFICIOS(nombreedificio, supmediadesp) := EDICIOS_EMP(edificio, supmediadesp).

R := EDIFICIOS x DESPACHOS.

Entonces, la relación R resultante será:

 

      

 

Conviene señalar que el producto cartesiano es una operación que raramente se utiliza de forma explícita, porque el resultado que da no suele ser útil para resolver las consultas habituales.

A pesar de ello, el producto cartesiano se incluye en el álgebra relacional porque es una operación primitiva; a partir de la cual se define otra operación del álgebra, la combinación, que se utiliza con mucha frecuencia.

 

 

         

Para obtener una relación que tenga todos los despachos del edificio Marina que tienen más de 12 metros cuadrados, podemos aplicar una selección a la relación DESPACHOS con una condición  de  selección  que  sea  edificio  =  Marina  y  superficie  >  12;  se  indicaría  DESPACHOS(edificio = Marina y superficie > 12).

En general, la condición de selección C está formada por una o más cláusulas de la forma:

Ai v,

o bien:

Ai Aj,

donde Ai y Aj son atributos de la relación T, es un operador de comparación* y v es un valor. Además, se cumple que:                                     

•En las cláusulas de la forma Ai v, v es un valor del dominio de Ai.

•En las cláusulas de la forma Ai, Aj, Ai y Aj tienen el mismo dominio.

Las cláusulas que forman una condición de selección se conectan con los siguientes operadores booleanos: “y” (?) y “o” (?).

 

A continuación definimos los atributos y la extensión de la relación resultante de una selección.

Ejemplo de selección

Si queremos obtener una relación R con los despachos de la base de datos del ejemplo que están en el edificio Marina y que tienen una superficie de más de 12 metros cuadrados, haremos la siguiente selección:

R := DESPACHOS(edificio = Marina y superficie > 12).

La relación R resultante será:

 

             

            
            
 

 

Para obtener una relación que tenga sólo los atributos nombre y apellido de los empleados de administración, podemos hacer una proyección en la relaciónEMPLEADOS_ADM sobre estos dos atributos. Se indicaría de la forma siguiente: EMPLEADOS_ADM [nombre, apellido].

A continuación definiremos los atributos y la extensión de la relación resultante de una proyección.

 

Ejemplo de proyección

Si queremos obtener una relación R con el nombre y el apellido de todos los empleados de administración de la base de datos del ejemplo, haremos la siguiente proyección:

R := EMPLEADOS_ADM[nombre, apellido].

Entonces, la relación R resultante será:

 

                      

 

 

         

 

Para conseguir una relación que tenga los datos de cada uno de los empleados de administración junto con los datos de los despachos donde trabajan, podemos hacer una combinación  de  las  relaciones  EMPLEADOS_ADM  y  DESPACHOS,  donde  la  condición  de combinación indique lo siguiente: edificiodesp = edificio y númerodesp = número. La condición de combinación hace que el resultado sólo combine los datos de un empleado con los datos de un despacho si el edificiodesp y el númerodesp del empleado son iguales que
el edificio y el número del despacho, respectivamente. Es decir, la condición hace que los datos de un empleado se combinen con los datos del despacho donde trabaja, pero no con datos de otros despachos.

La combinación del ejemplo anterior se indicaría de la forma siguiente:

EMPLEADOS_ADM[edificiodesp = edificio, númerodesp = número]DESPACHOS.

Si se quiere combinar dos relaciones que tienen algún nombre de atributo común, sólo hace falta redenominar previamente los atributos repetidos de una de las dos.

En general, la condición B de una combinación T[B]S está formada por una o más comparaciones de la forma

Ai Aj,

donde Ai es un atributo de la relación T, Aj es un atributo de la relación S, ? es un operador de comparación y se cumple que Ai y Aj tienen el mismo dominio. Las comparaciones de una condición de combinación se separan mediante comas.

A continuación definimos los atributos y la extensión de la relación resultante de una combinación.

Ejemplo de combinación

Supongamos que se desea encontrar los datos de los despachos que tienen una superficie mayor o igual que la superficie media de los despachos del edificio donde están situados. La siguiente combinación nos proporcionará los datos de estos despachos junto con los datos de su edificio (observad que es preciso redenominar previamente los atributos):

  EDIFICIOS(nombreeedficio,supmediadesp) := EDIFICIOS_EMP(edificio, supmediadesp),

R := EDIFICIOS[nombreedificio = edificio, supmediadesp<uperficie] DESPACHOS.

Entonces, la relación R resultante será:
 

Supongamos ahora que para obtener los datos de cada uno de los empleados de administración, junto con los datos del despacho donde trabajan, utilizamos la siguiente combinación:

R := EMPLEADOS_ADM[edificiodesp = edificio, númerodesp = número]DESPACHOS.

La relación R resultante será:

        

          

         

La relación R combina los datos de cada empleado con los datos de su despacho.

En ocasiones, la combinación recibe el nombre de ?-combinación, y cuando todas las comparaciones de la condición de la combinación tienen el operador “=”, se denomina equicombinación.

Según esto, la combinación del último ejemplo es una equicombinación.

Observad  que el  resultado  de  una equicombinación  siempre  incluye  una  o más parejas de atributos que tienen valores idénticos en todas las tuplas.

En el ejemplo anterior, los valores de edificiodesp coinciden con los de edificio, y los valores de númerodesp coinciden con los de número.

Puesto que uno de cada par de atributos es superfluo, se ha establecido una variante  de  combinación  denominada  combinación  natural,  con  el  fin  de eliminarlos.

Ejemplo de combinación natural

Si hacemos:

R := EDIFICIOS_EMP * DESPACHOS,

se considera que la condición es edificio = edificio porque edificio es el único nombre de atributo que figura tanto en el esquema de EDIFICIOS_EMP como en el esquema de DESPACHOS.
El resultado de esta combinación natural es:

             

Notad que se ha eliminado uno de los atributos de nombre edificio.

En ocasiones, antes de la combinación natural es necesario aplicar la operación redenominar para hacer coincidir los nombres de los atributos que nos interesa igualar.

Ejemplo de combinación natural con redenominación

Por ejemplo, si queremos obtener los datos de cada uno de los empleados de administración junto con los datos del despacho donde trabajan pero sin repetir valores de atributos superfluos, haremos la siguiente combinación natural, que requiere una redenominación previa:

D(edificiodesp, númerodesp, superficie) := DESPACHOS(edificio, número, superficie),

R := EMPLEADOS_ADM * D.

Entonces, la relación R resultante será: